第十一章 几何学

边为底边画了一个与原三角形相倒立的全等三角形，于是就组成了一块平行四边形。

    “我们把两个三角形合成的图形看作是一个整体，此形不同于方田，也不同于斜田，然而此田却是同样可以以盈补虚的。”戴言说完，又在此平行四边形的底角处做出了一条垂直线，直接与底边垂直，如此又切割出了一个直角三角形。

    “接下来，以此形之盈补彼处之虚，则整个形状就变为方田了，如此整个方田的大小（面积）为广（底边）乘以正从（三角形的高），那么此三角形的大小则为此方形的一半，也即半广以乘正从。”戴言淡淡的说道。

    半广以乘正从！巨子田鸠心中巨震，他当然知道这是什么意思，事实上这就是数千年来流传下来的测量圭田大小（面积）的方法，然而他随意的画出了一个所谓的三角形，面前的少年公子轻松的添加了一笔就轻轻松松的得出此形的大小一样为半广以乘正从，和圭田的算法一模一样，它们之间到底有何共同点呢？田鸠眉头紧锁，心中陷入了深深的思考。

    “公子做此为何意？公子的意思可是三角形的大小都可以此法来计算？刚刚公子也只是测量出了此三角形的大小，然而公子就认定所有的三角形的大小都可以依此法来计算否？天下岂有如此一法可通万法的道理？”这却是田鸠身后一个墨家弟子发问了。

    “缠子，住口，这位公子如此做法当然是有他的道理。”田鸠发话了。然后又向戴言问道：“然而我观公子此法一环套一环，其中甚是精密。在下说不出口为何，然而心中却觉得公子此法似乎确为理所当然，还望公子教我。”说完，对着戴言长拜一礼，以示尊敬。

    “先生万万不可。”戴言连忙避开田鸠的这一礼，开玩笑，知道了眼前此人乃是整个天下都出名的墨家巨子，天下闻名的学者，戴言岂敢受其一礼。随后他又说道：“我方才所言却是想说明只要随意的画出一个三角形，那么它的大小即是半广以乘正从，而那种不规则的斜田之计算方法也可以同样的方法算出，各位以为然否？”

    在场的众人都是连连摇头，纷纷表示不能理解，田鸠也是摇头不语。戴言心中也开始骂娘了，一个后世小学三年级都知道的几何知识，为何在场如此多人都不能够理解？

    其实这就是戴言不知道几何学的来历了。几何学的起源后世公认是起源于古埃及，在古埃及，由于尼罗河每年泛滥一次，每次泛滥，洪水会淹没两岸的土地，因此古埃及人都掌握了丰富的测量技术的经验和某些几何知识；同时由于古埃及的法老们一即位就要修金字塔，像金字塔如此规整的几何图形如果没有丰富的数学和几何知识简直让人无法想象如何能够修出来。

    然而古埃及的几何学就是后世的几何学吗？并不是。古埃及人的数学和几何经验虽热丰富，但是他们却并没有将其上升为系统的理论。真正建立起几何学根基的，是来自希腊的商人泰勒斯。泰勒斯早年游学于古埃及，从古埃及人这里他学到了几何的初步知识。随后他又去游历了古巴比伦，古巴比伦的祭司阶层极为发达，同时古巴比伦人崇拜月亮，也就是月神，因此古巴比伦祭司需要去解释月食，因此他们积累出了丰富的代数知识，他们可以把月食的日子算到小数点后多少位，泰勒斯从这里又学到了代数学的知识。随后他回到了他的家乡——港口城市米力都，在那里，古希腊人遇到了一个天大的难题：船只每天都要进港出港，然而港口处深浅不一，海底还有可能有礁石，无法确认出船只之间的距离就有可能引发严重的灾难。那么如何在海上测量距离？

    测量距离如果是在陆地上那是再简单不过了，可以直接拿尺来测量，那么海上你能办到吗？泰勒斯根据他从古埃及和古巴比伦两大原生文明数千年积累出的深厚数学知识，运用相似三角形的规律解决了这个问题。而解决此问题的同时，泰勒斯和古希腊哲学家产生了一个突破：它长期必须反复的使用推测、论证、确定，而这就是逻辑证明。

    逻辑证明的出现不亚于人类文明基因的一次突变，因为它意味着只要你能够给出已知的条件和设定，那么就可以推导出确定的未知的东西。历史上各大文明只有古希腊进化出了这一思维方式，古埃及、古巴比伦、古印度和古中国都没有能够进化出这种思维方式。有了这种思维方式，古希腊的数学和几何就仿佛是有了一个框架，随后的数学家们不断的为其添砖加瓦，最后在欧几里得的手上形成了系统的几何学——欧氏几何。

    而即使是如欧式几何那样如此简单的几何学，在中世纪的欧洲还有一个著名的驴桥定理：也就是《几何原本》第一篇的前五个定理。其中的第五个原理为：等腰三角形两底角相等，就是如此简单的定理就成为了历史上最出名的“笨蛋的难关”，即为“驴桥”，能理解此定理的就算是跨过驴桥了。

    而戴言在还没有搭建起整个几何学的框架时就想来证明三角形的面积公式，并且还必须要适用于所有的三角形，这让这时代的人如何能够理解？这绝对不是智力等的差距，这是两千多年文明的差距，也是认知上的差距。